Высшая математика. Алгебра: введение в теорию групп

О курсе

Теория групп, состоящая в изучении симметрий различных объектов, возникающих в природе, математике, науке и искусстве, стала в XIX–XX веках одним из центральных разделов математики. Сегодня она имеет огромное и все возрастающее прикладное значение (кристаллография, физика ядер и элементарных частиц, физика твердого тела, квантовая химия, обработка сигналов, криптография и теория кодирования и т. д.).

Курс адресован двум аудиториям. С одной стороны, он содержит весь материал, обычно включаемый в общие курсы алгебры, читаемые на 1–2 курсе студентам математических специальностей (математика, прикладная математика, теоретическая информатика). Он покрывает все относящиеся к теории групп потребности других математических курсов и может рассматриваться как один из необходимых модулей для получения общематематического образования. С другой стороны, в силу прикладного значения, знакомство с основами теории групп абсолютно необходимо многим физикам, химикам, геологам и инженерам, и настоящий курс должен дать им возможность ознакомиться с необходимыми разделами теории групп без прохождения полного курса алгебры для математиков.

Результат

Итогами курса станет умение обучающихся владеть терминологией и базовыми фактами теории групп, а также умение применять методы теории групп в различных областях математики и ее приложениях.

Навыки

В результате освоения курса студент должен уметь:

применять изученные теоремы в доказательствах новых теорем;
использовать специальную литературу, справочники, математические энциклопедии;
применять методы теории групп в различных областях математики.

Знания

В результате освоения курса студент должен знать:

основные классы групп, терминологию, классические примеры конечных и бесконечных групп, базовые теоремы теории групп;
тенденции развития теории групп.

Умения

В результате освоения курса студент должен владеть понятийным аппаратом.

Формируемые компетенции

ОПК-1. Способен применять фундаментальные знания, полученные в области математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности.

ПК-1. Способен демонстрировать базовые знания математических и естественных наук, основ программирования и информационных технологий.

О преподавателях

Вавилов Николай Александровичпрофессор бакалавриата "Математика", СПбГУ

Смирнов Станислав Константиновичруководитель лаборатории им. П.Л. Чебышева

Антипов Михаил Александровичдоцент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Лавренов Андрей Валентиновичинженер-исследователь кафедры высшей алгебры и теории чисел

Лузгарев Александр Юрьевичдоцент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Петров Виктор Александровичстарший научный сотрудник лаборатории им. П.Л.Чебышева

Пименов Константин Игоревичдоцент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Синчук Сергей Сергеевичпостдок лаборатории им. П.Л.Чебышева

Смоленский Андрей Вадимовичассистент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Ставрова Анастасия Константиновнанаучный сотрудник лаборатории им. П.Л.Чебышева

Степанов Алексей Владимировичдоцент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Щеголев Александр Вячеславовичассистент кафедры высшей алгебры и теории чисел

Входные требования

Для успешного освоения курса необходимы знания основ математики на уровне базовой школьной программы.

Содержание курса

Неделя 1. Вводная лекция.

Неделя 2. Основные определения и примеры

Определение группы, простейшие свойства групп, примеры групп
Подгруппы, порождение подгрупп, циклические группы
Классы смежности, индекс подгруппы, теорема Лагранжа

Неделя 3.

Двойные смежные классы, формула индекса Фробениуса
Нормальные подгруппы и фактор-группы
Классы сопряженности

Неделя 4. Гомоморфизмы групп

Определение и примеры гомоморфизмов, ядро и образ, теорема о гомоморфизме
Теоремы об изоморфизме, строение группы автоморфизмов

Неделя 5. Группы перестановок

Симметрическая группа, циклы, транспозиции
Знак перестановки и знакопеременная группа

Неделя 6. Действия групп на множестве

Определение и примеры действий групп
Орбита, стабилизатор, неподвижные точки
Классификация действий групп
Лемма Бернсайда и комбинаторные приложения

Неделя 7. Коммутаторы и коммутант

Коммутаторы и коммутант, тождества с коммутаторами
Коммутант симметрической и полной линейной групп

Неделя 8. Произведения групп, разрешимость и нильпотентность

Прямые и полупрямые произведения групп, расширения
Ряды подгрупп, разрешимые и нильпотентные группы

Неделя 9. p-группы и теоремы Силова

p-группы, теорема Коши о существовании элементов простого порядка
Теоремы Силова с доказательствами

Неделя 10. Задание групп образующими и соотношениями

Свободные группы, соотношения в группах
Примеры задания групп образующими и соотношениями: циклические и диэдральные группы, S4 и A4

Неделя 11. Геометрические примеры групп

Группы кос и их задание образующими и соотношениями
Кокстеровское задание групп перестановок
Группы, порожденные отражениями

Неделя 12. Классификация групп малых порядков

Классификация групп, порядок которых делится на малое количество простых чисел
Классификация групп порядка 8 и 12
Классификация простых групп порядка 60

Неделя 13. Завершающая лекция и итоговый экзамен

Профессии, специальности и направления подготовки	01.03.01 Математика 01.00.00 Математика и механика
Область деятельности	Математические и естественные науки
Дата окончания записи	25.12.2024
Трудоёмкость в з.е.	2.0
Количество лекций	13
Дата ближайшего старта	15.02.2021
Дата окончания	31.12.2024
ID курса	bbc6f5f925e24041a07841f6e1610414
К-во обучающихся на версии курса	16701
Язык	Русский
Длительность	13 недель
Сертификат	Есть
Версия	10