Аналитическая геометрия

О курсе

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей ВУЗов. Будет также полезен школьникам, углубленно занимающимся математикой.
Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по аналитической геометрии, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Векторная алгебра», «Прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве», «Кривые и поверхности второго порядка», «Аффинные преобразования».
В первой части курса будет дано понятие вектора, изучены свойства векторов, а также скалярные, векторные и смешанные произведения векторов. Далее мы перейдем к изучению линий и поверхностей первого порядка, каковыми являются прямые и плоскости.
Во второй части будут изучены кривые и поверхности второго порядка, дана их классификация. Кроме этого, мы познакомимся с понятием аффинного преобразования, поймем его геометрический и алгебраический смысл.
Последние две лекции будут посвящены проективной плоскости. Данный теоретический материал позволит нам решать различные задачи, которые также будут разобраны.

Результат

Знать:

основные понятия аналитической геометрии;
базовые принципы математических доказательств;
утверждения (теоремы), относящиеся к данным разделам аналитической геометрии и идеи их доказательств.

Уметь:

самостоятельно проводить исследования с целью выяснения истинности различных математических утверждений;
решать вычислительные задачи, обосновывая свои выкладки строгими логическими заключениями.

Владеть:

теоретическими знаниями в области аналитической геометрии;
аппаратом математических доказательств для решения теоретических и практических задач в данной и других областях математики.

Формируемые компетенции

B результате изучения дисциплиИны «Аналитическая геометрия» у студентов формируются следующие компетенции:

Общекультурные:

Способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, способность владеть культурой мышления (OK-8);

Способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести дискуссии (ОК-9);

Способность к саморазвитию, самореализации, приобретению новых знаний, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-11).

Профессиональные:

01.00.00 — Математика и механика

На уровне бакалавриата:

01.03.01 - Математика

Способность использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (TIK-1);

Способность осуществлять подбор, изучение и обобщение научной литературы и методических материалов (ПК-18).

01.03.02 — Прикладная математика и информатика

Способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (TIK-2);

Способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников (ПК-7).

01.03.04 — Прикладная математика

Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК - 3);

Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для формирования выводов по соответствующим научным, профессиональным, социальным и этическим проблемам (ПК-7).

На уровне подготовки кадров высшей квалификации направления

01.00.00 — Математика и механика у аспирантов формируется следующая универсальная компетенция:

Способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений, генерирование новых идей при решении исследовательских и практических задач, в том числе в междисциплинарных областях (УК-1).

О преподавателях

Садовничий Юрий Викторовичпрофессор, заведующий кафедрой общей топологии и геометрии механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова

Входные требования

Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объеме средней школы (11 классов).

Содержание курса

Лекция 1. Определение вектора. Сложение векторов, умножение вектора на число. Векторы на прямой. Линейная зависимость векторов.
Лекция 2. Коллинеарность и компланарность векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базисы и координаты. Геометрическое описание координат векторов.
Лекция 3. Скалярное произведение векторов. Метрические коэффициенты базиса. Скалярное произведение в координатах.
Лекция 4. Аффинные и прямоугольные координаты. Полярные координаты на плоскости и в пространстве.
Лекция 5. Матрицы и операции над ними. Переход от одного базиса к другому. Переход от одной аффинной системы координат к другой.
Лекция 6. Определение ортогональной матрицы. Преобразование прямоугольных координат.
Лекция 7. Ориентация прямой, плоскости и пространства. Ориентированная площадь и ориентированный объем. Векторное и смешанное произведение векторов.
Лекция 8. Векторные уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Вычисление расстояний.
Лекция 9. Уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат.
Лекция 10. Уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Полупространства. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат.
Лекция 11. Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и их матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат.
Лекция 12. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Определение уравнения линии второго порядка по ортогональным инвариантам.
Лекция 13. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Фокальное свойство эллипса и гиперболы. Кривые второго порядка в полярных координатах.
Лекция 14. Пересечение линии второго порядка с прямой. Теоремы единственности для линий второго порядка. Центры линий второго порядка.
Лекция 15. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления.
Лекция 16. Касательные к линиям второго порядка. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы.
Лекция 17. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии.
Лекция 18. Определение и свойства аффинных преобразований. Аналитическая запись аффинных преобразований. Аффинная классификация линий второго порядка.
Лекция 19. Определение и свойства изометрических преобразований. Классификация движений плоскости.
Лекция 20. Поверхности второго порядка и матрицы квадратичных функций. Основная теорема о поверхностях второго порядка (без доказательства).
Лекция 21. Эллипсоид и гиперболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Конические сечения.
Лекция 22. Параболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Цилиндрические поверхности. Аффинная классификация поверхностей второго порядка.
Лекция 23. Модели проективной плоскости: пополненная плоскость, связка, их изоморфизм. Однородные координаты на проективной плоскости.
Лекция 24. Арифметическая модель проективной плоскости. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.

Профессии, специальности и направления подготовки	01.03.01 Математика 01.00.00 Математика и механика
Область деятельности	Математические и естественные науки
Дата окончания записи	20.12.2024
Трудоёмкость в з.е.	3.0
Количество лекций	2
Дата ближайшего старта	23.09.2024
Дата окончания	31.12.2024
ID курса	dcfe5c3903974e5e91d6f741b15d7a27
К-во обучающихся на версии курса	10399
Язык	Русский
Длительность	15 недель
Сертификат	Есть
Версия	19