16.03.2020 | 15 недель | Открытое образование |
О курсе
Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей ВУЗов. Будет также полезен школьникам, углубленно занимающимся математикой.
Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по аналитической геометрии, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Векторная алгебра», «Прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве», «Кривые и поверхности второго порядка», «Аффинные преобразования».
В первой части курса будет дано понятие вектора, изучены свойства векторов, а также скалярные, векторные и смешанные произведения векторов. Далее мы перейдем к изучению линий и поверхностей первого порядка, каковыми являются прямые и плоскости.
Во второй части будут изучены кривые и поверхности второго порядка, дана их классификация. Кроме этого, мы познакомимся с понятием аффинного преобразования, поймем его геометрический и алгебраический смысл.
Последние две лекции будут посвящены проективной плоскости. Данный теоретический материал позволит нам решать различные задачи, которые также будут разобраны.
Результат
В результате освоения курса слушатель получит представление о базовых понятиях аналитической геометрии – векторе, прямой, плоскости, кривой 2 порядка, поверхности 2 порядка, аффинном преобразовании, познакомится с их свойствами и научится применять эти свойства при решении задач.
О преподавателях

Содержание курса
Лекция 1. Определение вектора. Сложение векторов, умножение вектора на число. Векторы на прямой. Линейная зависимость векторов.
Лекция 2. Коллинеарность и компланарность векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базисы и координаты. Геометрическое описание координат векторов.
Лекция 3. Скалярное произведение векторов. Метрические коэффициенты базиса. Скалярное произведение в координатах.
Лекция 4. Аффинные и прямоугольные координаты. Полярные координаты на плоскости и в пространстве.
Лекция 5. Матрицы и операции над ними. Переход от одного базиса к другому. Переход от одной аффинной системы координат к другой.
Лекция 6. Определение ортогональной матрицы. Преобразование прямоугольных координат.
Лекция 7. Ориентация прямой, плоскости и пространства. Ориентированная площадь и ориентированный объем. Векторное и смешанное произведение векторов.
Лекция 8. Векторные уравнения прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Вычисление расстояний.
Лекция 9. Уравнение прямой линии на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат.
Лекция 10. Уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Полупространства. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат.
Лекция 11. Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и их матрицы. Ортогональные инварианты квадратичных функций. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат.
Лекция 12. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Определение уравнения линии второго порядка по ортогональным инвариантам.
Лекция 13. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Фокальное свойство эллипса и гиперболы. Кривые второго порядка в полярных координатах.
Лекция 14. Пересечение линии второго порядка с прямой. Теоремы единственности для линий второго порядка. Центры линий второго порядка.
Лекция 15. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка. Сопряженные направления.
Лекция 16. Касательные к линиям второго порядка. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы.
Лекция 17. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии.
Лекция 18. Определение и свойства аффинных преобразований. Аналитическая запись аффинных преобразований. Аффинная классификация линий второго порядка.
Лекция 19. Определение и свойства изометрических преобразований. Классификация движений плоскости.
Лекция 20. Поверхности второго порядка и матрицы квадратичных функций. Основная теорема о поверхностях второго порядка (без доказательства).
Лекция 21. Эллипсоид и гиперболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Конические сечения.
Лекция 22. Параболоиды, их плоские сечения. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Цилиндрические поверхности. Аффинная классификация поверхностей второго порядка.
Лекция 23. Модели проективной плоскости: пополненная плоскость, связка, их изоморфизм. Однородные координаты на проективной плоскости.
Лекция 24. Арифметическая модель проективной плоскости. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
Профессии, специальности и направления подготовки | 01.03.01 Математика
01.00.00 Математика и механика |
Область деятельности | Математические и естественные науки
|
Количество лекций | 15 |
Дата ближайшего старта | 16.03.2020 |
Дата окончания | 15.04.2020 |
ID курса | dcfe5c3903974e5e91d6f741b15d7a27 |
К-во обучающихся на версии курса | 8966 |
Язык | Русский |
Длительность | 15 недель |
Сертификат | Есть |
Версия | 8 |