Высшая математика. Линейная алгебра и элементы топологии

О курсе

Этот курс логически является второй частью двойного авторского курса Алексея Савватеева "Высшая математика для всех". Здесь излагаются основные понятия и задачи линейной линейной алгебры: линейное пространство, базис и размерность, линейные операторы, матрицы, решение систем линейных уравнений, построение жордановой нормальной формы, исследование квадратичных форм. Также рассматриваются смежные вопросы, относящиеся к топологии и динамическим системам: принцип сжимающих отображений, исследование дифференциальных уравнений, компактность и теорема Брауэра. Курс в первую очередь ориентирован на слушателей, начинающих изучение этих тем или знакомых с ними поверхностно и желающих разобраться глубже. В отличие от классических курсов высшей математики, лектор не стремится к строгому формальному изложению материала и систематическому покрытию всех тем. Изложение строится вокруг ряда математических сюжетов, которые обсуждаются сначала неформально и на примерах, и только потом − с использованием строгих формулировок. Одной из сюжетных линий, продолжающей основной сюжет первой части курса, является построение экспоненты от линейного оператора. Другие сюжетные линии: форма горной поверхности, неподвижные точки отображений. В связи с этими вопросами оказываются задействованы основные инструменты линейной алгебры, анализа и смежных дисциплин, вокруг чего и строится материал лекций и семинаров.

О преподавателях

Тонис Александр СамуиловичДоцент

Савватеев Алексей ВладимировичПрофессор кафедры дискретной математики МФТИ

Содержание курса

Многочлены и линейная алгебра. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Базисы и размерность пространства многочленов. Множественность решений системы линейных уравнений. Размерность линейного пространства.
Линейные операторы: определение и задание с помощью матрицы. Композиция линейных операторов. Экспонента от линейного оператора. Норма линейного оператора и сходимость ряда экспоненты.
Многомерный анализ и линейная алгебра. Примеры: задача о теплопроводности, задача о маятнике. Линеаризация систем дифференциальных уравнений.
Матрицы и системы линейных уравнений. Перемножение и обращение матриц. Невырожденность и определитель. Алгебраические дополнения и вычисление обратной матрицы. Матрица линейного оператора в новом базисе. Приложение: кубические интерполяционные сплайны.
Анатомия линейного оператора: диагонализация и жорданова нормальная форма. Экспонента от матрицы и линейные динамические системы.
Квадратичные формы и их матричная запись. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Приведение к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Метрические пространства. Принцип сжимающих отображений. Его приложение к теории дифференциальных уравнений (доказательство существования и единственности решения).
Компактность на прямой и в многомерном пространстве. Непрерывный образ компакта.
Векторные поля и их приложения: основная теорема алгебры и теорема Брауэра.

Профессии, специальности и направления подготовки	09.03.01 Информатика и вычислительная техника 16.00.00 Физико-технические науки и технологии 09.00.00 Информатика и вычислительная техника 01.00.00 Математика и механика 03.00.00 Физика и астрономия 10.00.00 Информационная безопасность
Область деятельности	Инженерное дело, технологии и технические науки Математические и естественные науки
Количество лекций	16
Дата ближайшего старта	17.02.2020
Дата окончания	15.07.2020
ID курса	2d60ddcfaf4b4257b57bc774ed37559e
К-во обучающихся на версии курса	9101
Язык	Русский
Длительность	16 недель
Сертификат	Есть
Версия	4

О курсе

О преподавателях

Содержание курса

Рекомендуемые курсы

Рецензии и оценки